Здравствуйте, Olegator, Вы писали:

O>Существует ли разносторонний треугольник такой, что биссектриса и высота, проведенные из одной вершины, делят его на три части, из которых можно составить треугольник, не равный исходному?

Существует. Построим любой равнобедренный треугольник ABC (AB=BC) с углом B<45 градусов. Проведем из вершины B высоту к стороне AC. Обозначим точку пересечения H. Построим луч из т.B такой, чтобы он не пересекал треугольник ABC и чтобы угол между ним и ближайшей стороной треугольника был равен углу ABC. Построим прямую, содержащую отрезок AC. Точку пересечения луча и прямой обозначим D. Треугольник ABD (или CBD, кто как построил) и есть искомый треугольник. BH — высота, BC (или AC) — биссектриса по построению.
Составим новый треугольник следующим образом (исхожу из того, что ABD — искомый тр-к): Возьмем тр-к ABH. Приложим к нему тр-к HBC так, чтобы т.H тр-ка HBC совпала с т.H тр-ка ABH и т.C совпала с т.A. Приложим теперь тр-к CBD так, чтобы т.B тр-ка CBD совпала с т.C тр-ка HBC и т.C тр-ка CBD совпала с т.B тр-ка HBC. Полученный тр-к не равен исходному. Доказательство того, что исходный тр-к разносторонний я опускаю, т.к. из теоремы косинусов следует, что он может не быть разносторонним только если хотя бы один из углов A или D — прямые, а это не так по построению.