Рассмотрим ℘(ℕ) — множество всех подмножеств множества натуральных чисел ℕ — и зададим на нём
частичный порядок, соответствующий
операции включения ⊂. Цепью в частично упорядоченном множестве называется его
линейно упорядоченное подмножество (т.е. подмножество, в котором любые два элемента сравнимы).
Рассмотрим цепи, соединяющие наименьший и наибольший элементы этого множества: ∅ и ℕ. Очевидно, самая короткая такая цепь — это {∅, ℕ} — мы начинаем с пустого множества и разом добавляем все натуральные числа. Более интересен вопрос о том, какой наибольшей
мощности может быть такая цепь. Казалось бы, самый медленный способ — это добавлять по одному элементу (убирать элементы мы не можем, т.к. нам надо сохранить линейный порядок относительнно ⊂). Таким образом мы можем получить бесконечную цепь
счётной мощности ℵ₀.
Но на самом деле, можно найти и цепь большей мощности. Можете ли вы сообразить, как?