[Теория множеств] Цепи подмножеств ℕ
От: nikov США http://www.linkedin.com/in/nikov
Дата: 19.07.12 18:02
Оценка: 31 (5)
Рассмотрим ℘(ℕ) — множество всех подмножеств множества натуральных чисел ℕ — и зададим на нём частичный порядок, соответствующий операции включения ⊂. Цепью в частично упорядоченном множестве называется его линейно упорядоченное подмножество (т.е. подмножество, в котором любые два элемента сравнимы).

Рассмотрим цепи, соединяющие наименьший и наибольший элементы этого множества: ∅ и ℕ. Очевидно, самая короткая такая цепь — это {∅, ℕ} — мы начинаем с пустого множества и разом добавляем все натуральные числа. Более интересен вопрос о том, какой наибольшей мощности может быть такая цепь. Казалось бы, самый медленный способ — это добавлять по одному элементу (убирать элементы мы не можем, т.к. нам надо сохранить линейный порядок относительнно ⊂). Таким образом мы можем получить бесконечную цепь счётной мощности ℵ₀.

Но на самом деле, можно найти и цепь большей мощности. Можете ли вы сообразить, как?
 
Подождите ...
Wait...
Пока на собственное сообщение не было ответов, его можно удалить.