Рассмотрим ℘(ℕ) — множество всех подмножеств множества натуральных чисел ℕ — и зададим на нём частичный порядок, соответствующий операции включения ⊂. Цепью в частично упорядоченном множестве называется его линейно упорядоченное подмножество (т.е. подмножество, в котором любые два элемента сравнимы).

Рассмотрим цепи, соединяющие наименьший и наибольший элементы этого множества: ∅ и ℕ. Очевидно, самая короткая такая цепь — это {∅, ℕ} — мы начинаем с пустого множества и разом добавляем все натуральные числа. Более интересен вопрос о том, какой наибольшей мощности может быть такая цепь. Казалось бы, самый медленный способ — это добавлять по одному элементу (убирать элементы мы не можем, т.к. нам надо сохранить линейный порядок относительнно ⊂). Таким образом мы можем получить бесконечную цепь счётной мощности ℵ₀.

Но на самом деле, можно найти и цепь большей мощности. Можете ли вы сообразить, как?

Здравствуйте, nikov, Вы писали:

N>...

N>Но на самом деле, можно найти и цепь большей мощности. Можете ли вы сообразить, как?

Кажется, что нужно выполнить построение цепи по аналогии с рассуждением, описанным в диагональной процедуре Кантора, взяв за элементы искомой цепи бесконечные множества из нулей и единиц, доказательство "несчетности" цепи можно выполнить аналогично описанному по ссылке.

Здравствуйте, nikov, Вы писали:

N>Рассмотрим ℘(ℕ) — множество всех подмножеств множества натуральных чисел ℕ — и зададим на нём частичный порядок, соответствующий операции включения ⊂. Цепью в частично упорядоченном множестве называется его линейно упорядоченное подмножество (т.е. подмножество, в котором любые два элемента сравнимы).

N>Рассмотрим цепи, соединяющие наименьший и наибольший элементы этого множества: ∅ и ℕ. Очевидно, самая короткая такая цепь — это {∅, ℕ} — мы начинаем с пустого множества и разом добавляем все натуральные числа. Более интересен вопрос о том, какой наибольшей мощности может быть такая цепь. Казалось бы, самый медленный способ — это добавлять по одному элементу (убирать элементы мы не можем, т.к. нам надо сохранить линейный порядок относительнно ⊂). Таким образом мы можем получить бесконечную цепь счётной мощности ℵ₀.

N>Но на самом деле, можно найти и цепь большей мощности. Можете ли вы сообразить, как?

Поскольку мы верим в гипотезу Кантора, искомая цепь должна иметь мощность континуума, то есть, отображаться на интервал вещественных чисел, для определенности, на [0, 1]. Далее прошу прощения за грязь в изложении.

Для удобства, вместо подмножеств ℕ будем говорить о (бесконечных) булевских кортежах (1 на позиции i означает, что i содержится в подмножестве, и 0 наоборот). Выберем некий кортеж H с бесконечным количеством нулей и бесконечным количеством единиц, и сопоставим его числу 1/2. Из него тривиально строится кортеж, отображающися на 1/4 (все нули остаются на месте, а i-я единица заменяется на i-е значение в кортеже H); точно так же, только наоборот, строится кортеж для 3/4. Заметим, что порядок вложения сохранен. По аналогии, и также с сохранением порядка, строятся кортежи для чисел вида n/2^k для любых n и k. Построено множество кортежей, отображающееся на всюду плотное подмножество [0,1]. Очевидный предельный переход дает искомое отображение.

Здравствуйте, nikov, Вы писали:

N>Рассмотрим ℘(ℕ) — множество всех подмножеств множества натуральных чисел ℕ — и зададим на нём частичный порядок, соответствующий операции включения ⊂. Цепью в частично упорядоченном множестве называется его линейно упорядоченное подмножество (т.е. подмножество, в котором любые два элемента сравнимы).

N>Рассмотрим цепи, соединяющие наименьший и наибольший элементы этого множества: ∅ и ℕ. Очевидно, самая короткая такая цепь — это {∅, ℕ} — мы начинаем с пустого множества и разом добавляем все натуральные числа. Более интересен вопрос о том, какой наибольшей мощности может быть такая цепь. Казалось бы, самый медленный способ — это добавлять по одному элементу (убирать элементы мы не можем, т.к. нам надо сохранить линейный порядок относительнно ⊂). Таким образом мы можем получить бесконечную цепь счётной мощности ℵ₀.

N>Но на самом деле, можно найти и цепь большей мощности. Можете ли вы сообразить, как?

Давайте сопоставим каждому числу из ℕ рациональное число (мы можем это сделать, т.к. множества равномощны).
Теперь рассмотрим цепь проиндексированную вещественными числами: каждому вещественному числу x
сопоставляется множество рациональных чисел (и соответствующее множество натуральных чисел),
которые меньше x. Таким образом получится цепь мощности континуум.

N>>Но на самом деле, можно найти и цепь большей мощности. Можете ли вы сообразить, как?

S>Давайте сопоставим каждому числу из ℕ рациональное число (мы можем это сделать, т.к. множества равномощны).
S>Теперь рассмотрим цепь проиндексированную вещественными числами: каждому вещественному числу x
S>сопоставляется множество рациональных чисел (и соответствующее множество натуральных чисел),
S>которые меньше x. Таким образом получится цепь мощности континуум.

ЗЫ: Это соответствует дедекиндовым сечениям.

Здравствуйте, nikov, Вы писали:
...очень многа букафф...
N>Но на самом деле, можно найти и цепь большей мощности. Можете ли вы сообразить, как?
Как только кто-нибудь скажет, что такое невозможно, найдётся математик, который это сделает

S>Давайте сопоставим каждому числу из ℕ рациональное число (мы можем это сделать, т.к. множества равномощны).
S>Теперь рассмотрим цепь проиндексированную вещественными числами: каждому вещественному числу x
S>сопоставляется множество рациональных чисел (и соответствующее множество натуральных чисел),
S>которые меньше x. Таким образом получится цепь мощности континуум.

А наше сопоставление сохраняет отношение меньше?

Здравствуйте, Smal, Вы писали:

S>Давайте сопоставим каждому числу из ℕ рациональное число (мы можем это сделать, т.к. множества равномощны).
S>Теперь рассмотрим цепь проиндексированную вещественными числами: каждому вещественному числу x
S>сопоставляется множество рациональных чисел (и соответствующее множество натуральных чисел),
S>которые меньше x. Таким образом получится цепь мощности континуум.

Точно! Здесь используется замечательное свойство множества рациональных чисел ℚ, что оно является счётным линейно упорядоченным множеством, множество начальных отрезков которого несчётно.

Здравствуйте, Аноним, Вы писали:

А>А наше сопоставление сохраняет отношение меньше?

Отношение < для чисел — не сохраняет. Но отношение ⊂ для множеств чисел — сохраняет, а это нам и надо.

vnp>Поскольку мы верим в гипотезу Кантора, искомая цепь должна иметь мощность континуума, то есть, отображаться на интервал вещественных чисел, для определенности, на [0, 1]. Далее прошу прощения за грязь в изложении.

vnp>Для удобства, вместо подмножеств ℕ будем говорить о (бесконечных) булевских кортежах (1 на позиции i означает, что i содержится в подмножестве, и 0 наоборот). Выберем некий кортеж H с бесконечным количеством нулей и бесконечным количеством единиц, и сопоставим его числу 1/2. Из него тривиально строится кортеж, отображающися на 1/4 (все нули остаются на месте, а i-я единица заменяется на i-е значение в кортеже H); точно так же, только наоборот, строится кортеж для 3/4. Заметим, что порядок вложения сохранен. По аналогии, и также с сохранением порядка, строятся кортежи для чисел вида n/2^k для любых n и k. Построено множество кортежей, отображающееся на всюду плотное подмножество [0,1]. Очевидный предельный переход дает искомое отображение.

я поставил минус из-за невразумительного объяснения.
Попробую переформулировать:


Допустим у нас есть 2 элемента(множества) A и B, такие что A < B и A отличается от B бесконечным числом элементов.
Тогда между A и B можно вставить третье множество A < M < B (что совсем очевидно) причем так что и A от M и M от B отличались бы тоже бесконечным числом элементов (это тоже очевидно, потому что любое бесконечное множество можно разбить на 2 бесконечных множества).

Таким образом, если начать с пустого мн-ва (A) и мн-ва всех натуральных чисел (B), то их можно бесконечно дробить, вставляя все новые промежуточные мн-ва.

Если исходные множества сопоставить с нулем и единицей, а каждое дробление сопоставлять со средним арифметическим концов, то таким образом мы получим (путем бесконечного дробления) кучу элементов/множеств сопоставленных с двоично-рациональными числами i/(2^k)
Далее, дейсвительно можно перейти к пополнению, и каждому действительному числу (от 0 до 1) сопоставить предел множеств (отдельное упражнение, что это корректно определено).

Здравствуйте, dilmah, Вы писали:


vnp>>Поскольку мы верим в гипотезу Кантора, искомая цепь должна иметь мощность континуума, то есть, отображаться на интервал вещественных чисел, для определенности, на [0, 1]. Далее прошу прощения за грязь в изложении.

vnp>>Для удобства, вместо подмножеств ℕ будем говорить о (бесконечных) булевских кортежах (1 на позиции i означает, что i содержится в подмножестве, и 0 наоборот). Выберем некий кортеж H с бесконечным количеством нулей и бесконечным количеством единиц, и сопоставим его числу 1/2. Из него тривиально строится кортеж, отображающися на 1/4 (все нули остаются на месте, а i-я единица заменяется на i-е значение в кортеже H); точно так же, только наоборот, строится кортеж для 3/4. Заметим, что порядок вложения сохранен. По аналогии, и также с сохранением порядка, строятся кортежи для чисел вида n/2^k для любых n и k. Построено множество кортежей, отображающееся на всюду плотное подмножество [0,1]. Очевидный предельный переход дает искомое отображение.

D>я поставил минус из-за невразумительного объяснения.
D>Попробую переформулировать:


D>Допустим у нас есть 2 элемента(множества) A и B, такие что A < B и A отличается от B бесконечным числом элементов.
D>Тогда между A и B можно вставить третье множество A < M < B (что совсем очевидно) причем так что и A от M и M от B отличались бы тоже бесконечным числом элементов (это тоже очевидно, потому что любое бесконечное множество можно разбить на 2 бесконечных множества).

D>Таким образом, если начать с пустого мн-ва (A) и мн-ва всех натуральных чисел (B), то их можно бесконечно дробить, вставляя все новые промежуточные мн-ва.

D>Если исходные множества сопоставить с нулем и единицей, а каждое дробление сопоставлять со средним арифметическим концов, то таким образом мы получим (путем бесконечного дробления) кучу элементов/множеств сопоставленных с двоично-рациональными числами i/(2^k)
D>Далее, дейсвительно можно перейти к пополнению, и каждому действительному числу (от 0 до 1) сопоставить предел множеств (отдельное упражнение, что это корректно определено).

Спасибо. Объяснение было и в самом деле невразумительным, и минуса законно заслуживало. Единственное уточнение хочу сделать про норму кортежей, sum[i]|Ai — Bi|/2^i. В ней все красиво сходится. Кроме одного обстоятельства:
Я как бы придумал операции над кортежами (up и down), и мое рассуждение подразумевало, что up.down > down.up. Это не так. Но близко к истине.
Поэтому, вопросы:
— что такое (up.down)^n
— сходится ли
— если сходится, то к чему
— идет ли на свист, и любит ли маленьких поросят