Здравствуйте, Cyberax, Вы писали:

C>Гипотеза очень простая: "Все целые числа, начиная с 5 можно представить
C>в виде суммы двух простых чисел".

Любое четное число представимо в виде в виде суммы простых чисел (начиная с 4).

 4 =  2 + 2
 6 =  3 + 3
 8 =  3 + 5
10 =  5 + 5
12 =  5 + 7
14 =  7 + 7
16 = 11 + 5
18 = 11 + 7
20 = 13 + 7
.......

Здравствуйте, Cyberax, Вы писали:

C>А кто его знает... Доказательство может потребовать введения _новой_
C>аксиоматики, а это процесс неалгоритмизируемый. Поэтому сделать
C>автоматический решатель и невозможно.

Так речь не об автоматическом решателе, а об устройстве мышления человека. Алгоритмизуемо оно или нет ?
Насколько справедливо говорить, что мозг человека = (!=) машине тьюринга (всмысле функц. возможностей).

Здравствуйте, dshe, Вы писали:

D>Кстати, есть хорошая книга по этому поводу
D>Р. Пенроуз "Новый ум короля"
D>В ней Пенроуз (знаменитый математик) размышляет о компьютерах и мышлении (он также придерживается точки зрения, что человек мыслит неалгоритмически).

Несколько цитат о книге:

Китайская комната:

Предположим, компьютеру рассказали некую историю. Он ее понял, и теперь ведет осмысленное обсуждение этой истории с несколькими людьми. Но и люди, и машина — все говорят только на китайском языке. В той же комнате находится человек, который китайского не знает. Зато он умеет быстро-быстро двигать костяшки на счетах, точно воспроизводя все вычисления, которые делает компьютер при выслушивании, обдумывании и обсуждении истории. Спрашивается: поймет ли этот человек то же самое, что понял компьютер? Вряд ли. Но, согласно А, вроде бы должен понять — ведь он выполнил нужные вычисления. Значит, понимание не сводится к вычислению...

Неалгоритмичность мышления

Сначала автор говорит: предположим, что есть алгоритм, который решает... ну, скажем, все задачи определенного класса, которые могут решить математики. Затем он предлагает: давайте из нескольких задач скомбинируем другую задачу, вот такую; она тоже из этого класса. Ладно, говорим мы. А теперь, говорит автор, мы сделаем вот так, так и так, и получается, что эту задачу наш алгоритм решить не может. Согласны? Допустим, говорим мы. А теперь подумайте, — говорит он, — ведь задача-то эта, скомбинированная, решается. И ответ будет вот такой! Ну и что? — строго спрашиваем мы. Как "ну и что!" — теряет терпение автор. Мы — люди, то есть — решили. А алгоритм, который, как мы предположили, умеет решать — нет. Значит, свести то, что мы с вами умеем делать, к алгоритму — нельзя. Ах вот оно что!!! — обрадованно кричим мы (то есть я). И тут же соглашаемся, что заменить нас машиной — невозможно. Но оказывается, что все только начинается...

Математическое мышление

Очень трудно логически аргументировать против того, что у нас в головах есть некий непознаваемый и несознаваемый алгоритм, который управляет "математическим мышлением". К непознаваемому алгоритму нельзя непосредственно применить теорему Геделя... Но, не отказываясь от виртуозной логической аргументации, Пенроуз спрашивает: почему мы должны всеми силами держаться за саму идею "алгоритмичности" нашего мышления? Что в ней такого уж естественного? Каким образом, например, мог "универсальный математический алгоритм" возникнуть в процессе эволюции? Зачем природа могла снабдить охотника на мамонтов сверхсложным аппаратом, уже содержащим, в определенном смысле, и неевклидову геометрию, и К-теорию?.. Не проще ли предположить, что в процессе естественного отбора совершенствовался некий универсальный механизм понимания?..

Полимино

Итак, центральная тема первой части — невычислимое против вычислимого. В математике много невычислимого, но, главным образом, в весьма абстрактных ее разделах. Пример, который приводит Пенроуз для иллюстрации того, что такое невычислимость, построен на совершенно элементарном материале — задаче о покрытии плоскости плитками полиомино. Сравнительно недавно было доказано, что эта задача алгоритмически неразрешима. То есть не существует алгоритма, который бы получал на вход набор плиток, а на выходе выдавал бы "да" или "нет", в зависимости от того, можно ли замостить плоскость плитками из этого набора без зазоров и перекрытий. Но можно показать, что можно построить абсолютно детерминированную "эволюцию" наборов плиток, не описываемую никаким алгоритмом.

Резюме:

Главный тезис Пенроуза: "Сознание не поддается расчету и функционирует не алгоритмически... Мозг — это не компьютер". С помощью логических аргументов, привлекая известные факты физики и математики, Пенроуз показывает, какие вещи о сознании можно установить, а какие нет. Демонстрирует, что в человеческом мышлении есть такие аспекты, которые никогда не удастся повторить с помощью машины.

Mystic wrote:

> Мы — люди, то есть — решили. А алгоритм, который, как мы предположили,
> умеет решать — нет.

А другой алгоритм, который не предложили — умеет.

> Значит, свести то, что мы с вами умеем делать, к алгоритму — нельзя.

Софизм.

> Каким образом, например, мог "универсальный математический алгоритм"
> возникнуть в процессе эволюции?

А он у нас есть?

> Резюме:
> Главный тезис Пенроуза: "Сознание не поддается расчету и функционирует
> не алгоритмически... Мозг — это не компьютер".

Я просмотрел на досуге эту книжку — куча натяжек, не относящихся к делу
примеров и т.п. И ничерта Пенроуз не показывает, что сознание нельзя
алгоритмизировать.

Например, представим, что мы составили полную математическую модель
работы всех клеток мозга (например, заморозили мозг и просканировали
каждую клетку), и начинаем эмулировать их на компьютере. Таким образом
мы получим электронный интеллект, не отличимый от живого человека.
Естественно, это будет тогда означать, что классы решаемых задач у
человека и МТ — равны.

Тут можно возразить, что мозг нельзя эмулировать на компьютере. Атаку
можно вести по двум направлениям:
1. У человека есть метафизическая часть (душа), без которой мозг не
работает.
2. Мозг использует технику, которую физически нельзя точно эмулировать
на классическом компьютере (квантовые вычисления, например).

--
С уважением,
Alex Besogonov (alexy@izh.com)

Здравствуйте, Cyberax, Вы писали:


C>Например, представим, что мы составили полную математическую модель
C>работы всех клеток мозга (например, заморозили мозг и просканировали
C>каждую клетку), и начинаем эмулировать их на компьютере. Таким образом
C>мы получим электронный интеллект, не отличимый от живого человека.
C>Естественно, это будет тогда означать, что классы решаемых задач у
C>человека и МТ — равны.

Да все проще на самом деле. Еще в мохнатых 50-х 60-х годах была доказана теорема о существовании конечного автомата, который эмулирует деятельность человека. Мыслить он не будет (или будет?), но действовать будет абсолютно также как моделируемый человек. Тут есть натяжки, конечно, поскольку мы не можем пока точно описать абсолютно все входные и выходные сигналы такого автомата, но сама идея хорошая. Так что, Машина Тьюринга даже излишество.

Здравствуйте, Cyberax, Вы писали:

C>1. У человека есть метафизическая часть (душа), без которой мозг не
C>работает.
C>2. Мозг использует технику, которую физически нельзя точно эмулировать
C>на классическом компьютере (квантовые вычисления, например).

А интересно, можно ли вообще изучать процесс мышления с помощью мышления? Если да, то до каких пределов? Упремся, сдается мне, в принцип неопределенности.

Здравствуйте, Cyberax, Вы писали:

C>Mystic wrote:

>> Мы — люди, то есть — решили. А алгоритм, который, как мы предположили,
>> умеет решать — нет.

C>А другой алгоритм, который не предложили — умеет.

Там простое доказательство от противного:
1. Пусть существует алгоритм, который решает все задачи, которые могут решить математики.
2. В этом случае мы можем составить задачу, которую этот алгоритм решить не может.
3. Противоречие --- значит такого алгоритма не существует.
4. Т. е. не сущесвует никакого алгоритма, который бы мог решить все задачи, которые решают математики.
5. Отсуюда следует, что мышление математиков не представимо машиной Тьюринга.

C>2. Мозг использует технику, которую физически нельзя точно эмулировать
C>на классическом компьютере (квантовые вычисления, например).

Таки использует --- в микротрубочках тубулин.

Здравствуйте, Mystic, Вы писали:

M>Там простое доказательство от противного:
M> 1. Пусть существует алгоритм, который решает все задачи, которые могут решить математики.
M> 2. В этом случае мы можем составить задачу, которую этот алгоритм решить не может.
M> 3. Противоречие --- значит такого алгоритма не существует.
M> 4. Т. е. не сущесвует никакого алгоритма, который бы мог решить все задачи, которые решают математики.
M> 5. Отсуюда следует, что мышление математиков не представимо машиной Тьюринга.

В этом доказательстве используется бесконечность. Только поэтому многие математики с ним бы не согласились.

С обывательской же точки зрения, такую задачу построить невозможно за конечное время.

Здравствуйте, Mystic, Вы писали:

M>Там простое доказательство от противного:
M> 1. Пусть существует алгоритм, который решает все задачи, которые могут решить математики.
M> 2. В этом случае мы можем составить задачу, которую этот алгоритм решить не может.
M> 3. Противоречие --- значит такого алгоритма не существует.

С какой это радости противоречие? Тут ты неявно подразумеваешь, что математик таки-решит эту задачу, что для меня далеко не очевидно.

Ну составим задачу, ну не сможем решить. Дадим математику — он тоже не решит. И что дальше?

M> 4. Т. е. не сущесвует никакого алгоритма, который бы мог решить все задачи, которые решают математики.
M> 5. Отсуюда следует, что мышление математиков не представимо машиной Тьюринга.

Здравствуйте, Mystic, Вы писали:

M>Китайская комната:

Старый аргумент. Отражает непонимание различий между средой вычисления и информационными процессами, в ней протекающими. Информационные законы одинаковы, вне зависимости от среды, буть то арифмометр, ламповая или полупроводниковая ЭВМ или человек со счетами. В примере человек и не должен ничего понимать, поскольку он выполняет роль среды и его сознание не участвует в протекающих информационных процессах.
Еще один момент — предложенная модель компьютера ввиде человека со счетами никуда не годится, потому что в ней отсутствует неотъемлемая часть ЭВМ — запоминающее устройство.

M>Неалгоритмичность мышления

Здесь похоже плавает понятие алгоритма как такового. Являются ли генетические и другие вероятностные алгоритмы алгоритмами? Если да, то возможность поиска решения по неизвестному заранее пути алгоритмизируема.

M>Полимино

Тут опять неясности с термином алгоритма. Кроме того, теоретически доказано что не существует точного алгоритма. Однако не доказано что не существует алгоритма приблизительного. А гарантирует ли решение задачи человеком абсолютную точность?

Вобщем опять та же самая ошибка, которую допускают многие противники алгоритмизируемости мышления — слишком узко трактуются возможности вычислителей и слишком мелко рассматриваются процессы, происходящие в них.

Здравствуйте, Mystic, Вы писали:

M>Там простое доказательство от противного:
M> 1. Пусть существует алгоритм, который решает все задачи, которые могут решить математики.
M> 2. В этом случае мы можем составить задачу, которую этот алгоритм решить не может.

Каким образом?

M> 3. Противоречие --- значит такого алгоритма не существует.

Где противоречие?

Много писалось про то, что нет такого-то алгоритма, а мол, есть что-то, что задачу решает (про укладку плиток и человека).

Если есть процесс, который что-то решает, то как он может быть не алгоритмизируем? И что такое в этом случае алгоритм?

Здравствуйте, Quintanar, Вы писали:

Q>В этом доказательстве используется бесконечность. Только поэтому многие математики с ним бы не согласились.

Ну... Брауэр бы не согласился Но интуиционисткая математика так и не получила большого развития. Почти вся математика использует доказательства от противного, неконструктивные доказательства и прочие "нефинитные" вещи

Здравствуйте, WFrag, Вы писали:

WF>Здравствуйте, Mystic, Вы писали:

M>>Там простое доказательство от противного:
M>> 1. Пусть существует алгоритм, который решает все задачи, которые могут решить математики.
M>> 2. В этом случае мы можем составить задачу, которую этот алгоритм решить не может.
M>> 3. Противоречие --- значит такого алгоритма не существует.

WF>С какой это радости противоречие? Тут ты неявно подразумеваешь, что математик таки-решит эту задачу, что для меня далеко не очевидно.

Ну... там надо внимательно смотреть за выкладками Пенроуза. Вроде таки да, получается, что математик решит эту задачу. Завязано на проблемах, связаных с теоремой Геделя.

Здравствуйте, Mystic, Вы писали:

M>Ну... там надо внимательно смотреть за выкладками Пенроуза. Вроде таки да, получается, что математик решит эту задачу. Завязано на проблемах, связаных с теоремой Геделя.

Я знаю, мы на курсе когнитивной психологии подробно изучали творения сего автора Там есть к чему прикопаться с точки зрения мат. логики — он часто пользуется "интуитивными" доказательствами, которые неявно используют аксиомы "извне" системы о которой идет доказательство (например, когда он "доказывает" ложность Геделевского утверждения).

FDSC wrote:

> Много писалось про то, что нет такого-то алгоритма, а мол, есть
> что-то, что задачу решает (про укладку плиток и человека).
> Если есть процесс, который что-то решает, то как он может быть не
> алгоритмизируем? И что такое в этом случае алгоритм?

Алгоритм в теории вычислимости — это программа для МТ (или для любого из
ее аналогов). Смотрите про тезис Черча-Тьюринга.

Алгоритмизируемый процесс — процесс, который можно представить в виде
алгоритма, выполняющегося за конечное число шагов.

--
С уважением,
Alex Besogonov (alexy@izh.com)

Здравствуйте, Quintanar, Вы писали:

Q>Да все проще на самом деле. Еще в мохнатых 50-х 60-х годах была доказана теорема о существовании конечного автомата, который эмулирует деятельность человека.

Доказана? Каким образом, интересно?
Да и вообще — не факт еще, что мозг — детерминированная система.

Дарней:

LCR>>А в человеке есть (божественная) искра, которая позволяет ему выходить за рамки любых ограничений. Поэтому человек и не описываем алгоритмически.

Д>Только умоляю, давайте обойдемся без религиозных выкладок. Здесь все-таки приличное общество.

Да не надо умолять, я никому здесь т(.*)ть мозг не собираюсь. Просто изложил моё мнение (если я не ошибаюсь, здесь все этим занимаются ).

Я не случайно взял определение "божественный" в скобки, потому что некоторых людей производные от слова "бог" сильно напрягают Таким людям нужно просто прочитать предложение не читая слово в скобках.

Я тоже стараюсь, пока это возможно, оставаться в рамках строгих рассуждений. Однако, иногда эффективнее не перемалывать тонны посылок-следствий (такие рассуждения напоминают хождение по кругу маленькими шажками), а просто привлечь ощущения (или интуицию, как тебе угодно будет), тогда ответ находится очень быстро. Однако почему это происходит — непонятно. Это из разряда "я знаю, что это так, но почему — ". Вот это я и называю искрой.

Рационализм уже исчерпал себя, ты не находишь? Кое что можно постичь логическим выводом, но далеко не всё.

Здравствуйте, Cyberax, Вы писали:

C>Алгоритм в теории вычислимости — это программа для МТ (или для любого из
C>ее аналогов). Смотрите про тезис Черча-Тьюринга.

Спасибо, посмотрел. Незнал об этом.

Однако, он не доказан, насколько я понял, да и вообще — странно звучит.

Причём тут машина Тьюринга и теория вычислений? Мне казалось, речь всё-таки идёт вообще об алгоритмах, а не о машине Тьюринга.

Здравствуйте, Lazy Cjow Rhrr, Вы писали:

LCR>Да не надо умолять, я никому здесь т(.*)ть мозг не собираюсь. Просто изложил моё мнение (если я не ошибаюсь, здесь все этим занимаются ).

LCR>Я не случайно взял определение "божественный" в скобки, потому что некоторых людей производные от слова "бог" сильно напрягают Таким людям нужно просто прочитать предложение не читая слово в скобках.

Значит, не надо было писать его вообще.

LCR>Я тоже стараюсь, пока это возможно, оставаться в рамках строгих рассуждений. Однако, иногда эффективнее не перемалывать тонны посылок-следствий (такие рассуждения напоминают хождение по кругу маленькими шажками), а просто привлечь ощущения (или интуицию, как тебе угодно будет), тогда ответ находится очень быстро. Однако почему это происходит — непонятно. Это из разряда "я знаю, что это так, но почему — ". Вот это я и называю искрой.

Интуиция — это вопрос особый. Но к "божественному" она не имеет никакого отношения — просто это вещь, которую мы не понимаем.

LCR>Рационализм уже исчерпал себя, ты не находишь? Кое что можно постичь логическим выводом, но далеко не всё.

Не нахожу.